附录1 课程内容中的实例

例1 用算盘表示多位数

【说明】算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1。每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数，可以任意选定某档为个位，不拨珠空档表示0。

例如，513和602在算盘上的表示如图1。

更大的数可用同样的方法表示。

在学生感受用算盘表示数的同时，向学生介绍算盘的历史，引导学生体会算盘是我国的优秀文化遗产。

例2 感悟大小关系

小阳和小冬用，边摆边说。数一数，想一想，他们说的话对吗？

【说明】相等和不等是数的两个基本关系。在数量一样多、较多和较少的具体情境中，引导学生感悟数的相等和不等关系，知道可以用符号＝，＞，＜分别表示数与数之间的相等、大于和小于关系，感悟大小关系的传递性：如果8＞6，6＞3，那么8＞3。对于关系传递性，只要求学生感悟，为将来理解代数基本事实作感性铺垫，不作为学业要求。

例3 运算与运算之间的关系

二年级（3）班有8个学习小组，每组5人，这个班一共有多少人？

【说明】如图3，针对问题背景，让学生经历用图形表示数量关系的过程，理解乘法运算以及乘法与加法的关系。

还可以用类似的方法，让学生感悟减法运算以及减法是加法的逆运算，感悟除法运算以及除法是乘法的逆运算。

例4 用不同符号表示变化规律

在下列横线上填上合适的数字、字母或图形，并说明理由。

【说明】启发学生在解决问题的过程中探索规律。引导学生感悟对具有规律性的事物，无论是用数字还是用字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同。

例5 借助图形发现运算规律

在表4中，标出横排和竖排上两个数相加等于10的格子，再标出相加等于6，9的格子，你能发现什么规律？

【说明】通过这样的活动，不仅可以帮助学生熟练掌握20以内数的加法，还可以让学生感悟加数与和之间的关系，让学生感悟数值与图形的结合，有利于为后续学习图形的位置等内容做准备。

教师可以根据实际情况灵活地设计教学活动。例如，可以根据上表，让学生判断：出现次数量多的和是几？最少的是几？

例6 根据大小关系排序

将数50，98，38，10，51排序，用符号＞，＜表示。用大得多、大一些、小一些、小得多等语言进一步表示它们之间的关系。

【说明】数的最基本关系是大小关系，通过排序可以考查学生对大小关系及其传递性的理解。

可以用不同的排序方法，让学生经历选择方法的过程，引导学生表述排序方法的操作过程，帮助学生积累思维的经验和做事的经验；引导学生用恰当的语言表述大小关系的程度，体会大小关系的传递性，培养思维的逻辑性。

例7 通过对应理解大小关系

图4第（1）题是小华完成的，你能像他一样完成其他两道题吗？

【说明】通过两个集合中元素之间一一对应的方法判断集合中元素的多少。这种对应的方法是数学的基本方法。通过对应的方法，学生可以感受由数量抽象到数、由数量的多少关系抽象为数的大小关系。在这个例子中，学生通过“连一连”比较两个集合中元素的多少，进一步感知用一一对应的方法能够进行数量多少的比较，建立数感。

例8 感悟从未知到已知的转化

学校图书馆为学生购买图书，其中数学绘本每本14元。如果买12本，需要付多少元？

【说明】在知道两位数乘一位数的基础上，引导学生探索两位数乘两位数的方法，感悟从未知到已知的转化。

重点是理解从一位数乘法到两位数乘法算理和算法的迁移。学生已知 14×10 的计算方法和 14×2 的计算方法，探索 14×12 的计算方法。可以引导学生将12分解成 （10+2） ，然后利用横式体现算理，14×12=14×(10+2)=14×10+14×2 ，就可以把未知转化为已知；在分析的基础上建立乘法运算竖式，从算理过渡到算法。在这样的过程中，发展学生的运算能力和推理意识。此外，可以引导学生借助面积表述运算的道理，培养几何直观。

例9 感悟分数单位

比较 1/2 和 1/3 的大小。

【说明】把两个同样大小的圆分别平均分成2份和3份，通过比较各自1份面积大小的方法，引导学生直观理解分数的大小。然后，进一步把这两个圆都平均分成6份，通过“1/2=3/6，1/3=2/6，3/6>2/6，所以 1/2>1/3”，帮助学生理解分数单位之间的关系，知道只有在相同单位下才能比较分数的大小。这个法则与整数比较大小的法则是一致的。

例10 生活中的数

某学校为学生编号，设定末尾用1表示男生，用2表示女生。例如，202103321表示“2021年入学的（3）班的第32号同学，该同学是男生”，那么202104302表示什么？

【说明】这个例子启发学生思考，编号提供给我们一些什么信息。例如，一个年级最多有多少个班，一个班最多有多少名学生。同时，可以引导学生设计本校的学生编号方案。

例11 现实生活中的估算

学校组织987名学生去公园游玩。如果公园的门票每张8元，8000元够不够？

【说明】在日常生活中，许多问题并不需要精确的答案。这个例子可以让学生了解在什么样的情境中需要估算，认识到能结合具体情境选择适当的单位是估算的关键。例如，在此例中把987人看成1000人，8000元是够的，这里适当的单位是“1000人”。

在估计长度、质量和其他度量值时也需要选择合适的单位。一般来说，估计教室的长度时以“米”为单位，估计书本的长度时以“厘米”为单位。此外，还可以引导学生选用自己熟悉的物体的长度为单位，如步长、臂长等。

例12 利用计算器探索规律

利用计算器计算15×15，25×25，…，95×95，并探索规律。

【说明】引导学生利用计算器进行重复性的计算，从中发现一些有趣的规律。例如，在下面计算中观察结果与因数的关系，发现以下规律：

15×15=225=1×2×100+25，
25×25=625=2×3×100+25，
35×35=1225=3×4×100+25，
…
这个规律在实际运算中是有意义的。

例13 利用数据提出问题

某展览中心周六和周日有一个艺术展，图5记录了参观人数。

根据记录的参观人数，你能提出哪些问题？

【说明】通过这个例子讨论“总量=分量+分量”的数量关系，例如，周六上午57人、下午64人都是中小学生参观人数的分量，分量和57+64=121（人）是周六的中小学生参观人数总量。周六的中小学生参观人数总量又是周六参观人数的分量。启发学生提出许多类似问题，关注学生思维的逻辑。通过这个例子，学生也可以提出相应的减法问题，即“分量=总量-分量”的数量关系，只需要把其中的一个分量作为未知量。

例14 寻找规律进行推断

联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗？

【说明】在例4借助符号表示规律的基础上，感知通过规律可以进行推断。在解决这个问题时，学生可以有多种方法。例如，用A表示红气球，B表示黄气球，C表示绿气球，排列顺序可以表示为

从中找出第16个字母，由此推断第16个气球的颜色。

例15 曹冲称象的故事

通过具体情境认识物体的质量，感悟质量的度量方法，掌握度量单位的换算，感悟等量的概念，尝试运用等量的等量相等进行推理，知道常见数量关系：总量等于各分量之和。

【说明】通过“称重”等具体活动，结合学生生活中对物体质量的认识经验，帮助学生认识克、千克、吨，了解它们之间的关系，积累数学活动经验，发展量感。

此主题活动可作如下设计。

（1）我也来称象

通过“曹冲称象”的故事引导学生思考下列问题，引发对“质量单位、称量工具”的学习：在古代为什么大象的体重难称量？要称量大象的体重，需要哪些条件？

充分结合学生生活中对各种物品质量的经验，帮助学生感受“物体轻、物体重”需要规定合适的单位来表示，进而理解克、千克、吨这些常用质量单位的意义及其关系，并尝试利用等量的等量相等进行推理。

（2）各种各样的秤

组织学生收集各种称量物体质量的工具，如生活中常见的秤、实验室中用的天平等，扩展学生对称量工具及质量单位的认识。

（3）都来称一称

学生组建小组，使用某些秤或者已经称量好的物品作为称量工具，如用一袋盐作“秤”，去估一估、称一称，想办法得到教室内、生活中各类物品的质量，经历度量的过程，体会误差，归纳估测的方法，丰富并发展量感。

例16 除法可以写成分数的形式

为什么4÷2可以写成 4/2 ？

【说明】首先，可以通过除法运算的意义和分数的意义理解它们之间的等价关系。前者可以表示把4个苹果平均分给2个人，每人分到2个；后者可以表示4个苹果的 1/2，等价于2个苹果。

其次，通过算理进行一般性说明。怎样知道“4÷2=△”中的“△”是多少？由于除法是乘法的逆运算，它等价于“4=△×2”。根据等式的基本性质，等式两边同乘1/2后等式不变，计算得到4× 1/2 = △ 。根据基本事实“等量的等量相等”，所以4÷2=4× 1/2 成立。

最后，因为 4 × 1/2 表示 4个1/2 相加，所以写成 4/2 ，即 4÷2=4/2 。这个结果表明，除以一个数等于乘这个数的倒数。

例17 等式的基本性质

观察下面两组等式，你有什么发现？与同伴交流，尝试解释你的发现。

【说明】这两组等式表达了等式的两个基本性质。第一组是等式的基本性质I，即“等式两边同时加或减同一个数，等式两边仍然相等”。第二组是等式的基本性质II，即“等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等”。这两个基本性质同样适用于含有未知数的等式，在后续学习方程时会用到。

例18 估算的上界和下界

李阿姨去商店购物，带了100元，她买了2袋面，每袋30.4元；又买了1块牛肉，用了19.4元。她还想买1条鱼，大一些的每条25.2元，小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下，她此时剩余的钱够不够买小鱼？够不够买大鱼？

【说明】对于给定的数量，许多估算问题是为了得到上界或者下界。为此，需要对给定的数量进行适当放大或缩小，凑整计算。此例中两个问题的核心都是估计用100元购物后的剩余金额，但两种估计方法有所不同。

第一问“够不够买小鱼”需要估计剩余金额的下界（至少剩余多少元），如果下界超过15.8元，就够买小鱼。对于估计下界的问题，购物金额要适当地放大。例如，买1袋面不超过31元，买2袋面不超过62元；买牛肉不超过20元；总共不超过62+20=82（元），至少还剩100—82=18（元）。所以，李阿姨剩余的钱买1条小鱼是够用的。

第二问“够不够买大鱼”需要估计剩余金额的上界（至多剩余多少元），如果上界不到25.2元，就不够买大鱼。对于估计上界的问题，购物金额要适当地缩小。例如，买1袋面至少要30元，买2袋面至少要60元；买牛肉至少要19元；总共至少要60+19=79（元），至多还剩100—79=21（元）。所以，李阿姨剩余的钱不够买1条大鱼。

例19 用字母表示数量关系或规律

（1）小华比小明多5张漫画卡。如果小明有8张，小华有几张？如果小明有12张呢？如果小明有若干张，怎样用字母表示小华有多少张漫画卡？

（2）我们学习过一些图形面积的计算公式，还学过加法和乘法的运算律，你能用字母表示这些计算公式和运算律吗？

（3）如图6，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，按这样拼下去，n张餐桌拼在一起可坐多少人？

【说明】这三个问题涉及用字母表示数量关系或规律。

（1）教学时，可以先从具体数量入手：小明有8张、12张时，小华的漫画卡数量应如何表示？如果小明有不知道具体数量的若干张时，小华的漫画卡数量可以表示为（5+a），其中的字母a表示小明的漫画卡数量，是一个变化的值。

（2）让学生探索用字母表示面积计算公式和运算律的过程，感悟用字母表示所得到的结果具有一般性。

（3）让学生经历用字母表示变化规律的过程，培养符号意识。1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人，以此类推，n张餐桌拼在一起可坐（2n+2）人。

例20 认识成正比的量

王阿姨去超市买苹果，每千克苹果5元，如果购买2千克、3千克……分别需要多少元？

【说明】可以借助列表或者画图象的方法分析问题，例如，把计算的结果记录在表5中。

观察表5可以发现，随着购买苹果数量的增多，总价也增多，这两个量变化的最基本特征是：总价与数量的比值保待不变。可以把这个关系表示为 总价/数量＝5，或者用符号表示为 y/x＝5，这时称y和x为成正比的量。

例21 探索数量之间的变化规律

王阿姨去超市买苹果，每千克苹果5元，购买2千克、3千克……分别需要多少元？探索其中的规律。

【说明】这是例20的延续。从例20的说明中可以知道，为了保证两个数量的比值保待不变，这两个数量必须一起变化。显然，也可以把这个表达式转化为 y=5x 的形式。这样的表达能够更好地体现“随着购买苹果数量的增多，总价也增多”的变化规律，这就是初中将要学习的正比例函数。

例22 圆周率的故事

通过讲述祖冲之计算圆周率的故事，让学生感知圆周率的逼近过程，同时，也理解小数的十进制名称的表达，感受中国古代数学家的杰出贡献。

【说明】据《隋书》卷十六《志》第十一《律历》记载，南北朝时期的祖冲之得到圆周率的结果是：

以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。……所著之书，名为《缀术》，学官莫能究其深奥，是故废而不理。

因此，祖冲之得到圆周率在3.1415926和3.1415927之间；根据不同的需要，可近似取作 22/7（约率）或 355/113（密率）。由此可以看到，祖冲之得到的圆周率精确到小数点后第6位，这个结果领先世界约1000年之久。

特别值得指出，类似自然数的单位（如个、十、百、千、万等），祖冲之清晰地表达、定义了十进制的小数单位———尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，表述到小数点后七位。由此可见，中国古代人民对于小数的理解和表达都是深刻的。

例23 用字母表示数量关系

回顾例19（3）的情境，请用字母表示餐桌数与人数之间的关系。

【说明】引导学生用不同的字母分别表示餐桌数和人数，建立二者之间的关系。例如，用a表示餐桌数，b表示人数。根据问题的背景，可以建立关系式：

引导学生理解，如果知道两个量中的一个量，就可以通过对关系式的四则运算得到另一个量。在上式中，如果a=2，那么b=6；如果a=3，那么b=8。反之亦然。在这样的过程中，启发学生进一步感即可以用字母表示数量关系，让学生初步经历通过具体数值的计算归纳一般关系的过程。

例24 找出对应图形

如图7，用第一行的立体图形模型能描出第二行的哪个平面图形？连一连。

【说明】让学生通过一些操作活动，感受立体图形与对应的平面图形的关系，感受图形的特征，形成空间观念。还可以让学生采用类似盖印的方法，把物体的一个面印在纸上，得到平面图形，一方面能够培养空间想象力，另一方面能够感受中国传统的印章文化。

例25 理解长度单位

在下面的括号中填写合适的数或长度单位。

• 1支铅笔大约长（ ）厘米；
• 1米约相当于（ ）支铅笔长；
• 无障碍坡道的宽度应不小于90( )；
• 学校操场上的旗杆高15( ）。

【说明】让学生结合日常生活经验，在实际情境中理解长度单位的意义，选择合适的长度单位，进行物体长度的比较。在教学中，让学生找到一个熟悉的物体长度作参照，以便作出更精准的判断。

例26 用直尺和圆规作等长线段

用无刻度的直尺（或不看直尺的刻度）和圆规，作一条与给定线段长度相等的线段。

【说明】让学生通过几何作图的方法，在操作过程中形成对几何图形的感觉，感受两点确定一条线段的意义；体会用直尺可以确定直线，用圆规的两脚可以确定线段的长短。具体方法：利用直尺画一条直线，用圆规确定给定线段的长度，在直线上确定两个端点，从而作出与给定线段等长的线段。教学中，可以让学生发挥想象力，用直尺和圆规构建各种可以实现的图形。例如，作一个给定边长的等边三角形，感受用测量的方法无法精确完成这样的任务。

例27 认识平移和旋转

（1）在下列现象中，哪些是平移？哪些是旋转？

①汽车方向盘的转动；②火车的直线运动；③电梯的上、下移动；④钟摆的运动。

（2）在图8中，哪些图形通过平移可以互相重合？

【说明】引导学生结合熟悉的生活情境，认识平移、旋转。能结合生活经验，理解平移和旋转前后图形的变与不变，进而通过平移和旋转，使图形实现重合。

例28 图形的共性与区别

如图9，通过相应的图形认识四边形，辨别其中的平行四边形、梯形、长方形和正方形。

【说明】让学生通过直观认识不同图形，说出图形的共性，知道这些共性与图形命名的关系。例如，四边形都有四条边和四个角的共性，平行四边形要求两组对边分别平行，长方形进一步要求四个角是直角，正方形进一步要求四条边都相等。

例29 通过作图认识三角形周长

把三角形的三条边依次画到一条直线上，认识三角形的周长。

【说明】让学生从认识三角形的周长入手，直观理解什么是图形的周长。具体方法：利用直尺画一条直线，然后用圆规依次度量三角形的三条边，首尾相接画到直线上，得到一条线段，直观感知这条线段的长度就是三角形的周长，以及线段长度的可加性。

例30 图画还原

打乱由几块积木或者几幅图画组成的平面图画（如图11），请学生还原，并利用平移和旋转记录还原的步骤。

【说明】通过实际操作理解图形的平移和旋转，不仅能增加问题的趣味性，还可以让学生感悟图形运动是可以记录的，甚至可以体验选取最佳方案的过程。在这样的过程中，培养学生的想象力。

教学设计时，可关注如下要点。

（1）完成还原积木的任务一定要从简单到复杂。如图11，先打乱四块积术中的下面两块，让学生经历思考的过程。学生有了一定经验后，可以打乱三块或四块积木，让学生继续尝试。

（2）可以分小组进行。为了记录准确，事先要确定每一个步骤的代表符号。

（3）小组活动时，可以先讨论，确定一个大概的还原路线，然后操作验证。

（4）小组成员共同操作，进行比较，验证确定的路线。

例31 生活中的轴对称图形

组织学生分组收集日常生活中常见的图形（如图12)，观察是否有轴对称图形。如果有轴对称图形，尝试画出对称轴。在课堂中展示、交流大家的发现，并尝试设计一些轴对称图形。

【说明】鼓励学生在熟悉的图形中发现轴对称图形，认识轴对称图形的对称轴，在交流的过程中丰富自己的经验。

在交流的基础上，教师可以鼓励学生设计轴对称图形，交流图形所表达的含义；还可以让学生欣赏中国剪纸，在学习数学的同时，渗透中华优秀传统文化。

例32 作图理解三角形

用直尺和圆规作三角形，直观感受为什么三角形中任意两条边的长度之和大于第三条边的长度，即通常所说的“任意两边之和大于第三边”。

【说明】可以引导学生在具体的操作过程中发现一般规律。例如，给出几组线段（每组三条），有的能构成三角形，有的不能构成三角形。首先，启发学生在操作过程中思考三角形三条边的边长之间的关系，感悟命题“任意两边之和大于第三边”的意义；然后，引导学生用“两点之间线段最短”这个基本事实说明数学命题的正确性，形成推理意识。

例33 估计不规则图形的面积

如图13，每个小正方形的面积为1个面积单位，尝试估计曲线所围图形的面积。

【说明】在教学活动中，可以培养学生有规划做事的习惯和判断结论的能力。例如，可以数出图形包含的完整小正方形的数量，或者数出图形包含的以及边缘接触到的所有小正方形的数量，用数量估计图形的面积。引导学生发现，第一种方法估计的面积比实际面积小，第二种方法估计的面积比实际面积大，由此作出结论，实际面积在这两个估计值之间。

对于学有余力的学生，还可以引导他们理解：如果将小正方形等分成更小的正方形，可以得到更接近实际面积的估计值。

例34 从不同方向观察物体

观察图14中用积木搭成的物体：


在图15中指出分别从前面、右面、上面观察时看到的图形。


【说明】在教学活动中，引导学生先猜想，然后通过观察验证自己的猜想，培养空间想象力。

例35 回家路线示意图

描述从学校回家的路线示意图，注明方向和途中的主要参照物。

【说明】在教学活动中，可以先让学生用日常语言描述回家的路线，然后在图上标出方位，画出路线图，标明主要参照物。在这个过程中，帮助学生建立几何直观，发展空间观念。

例36 数对与点的对应

在教室里，小华坐在第3行第4列，请用数对表示，并在方格纸上描出来。小虎的位置为(a,a)，他可能坐在哪里？（a为正整数）

【说明】通过实际操作，让学生感知数与形的结合，形成几何直观；感知数学的抽象过程，进一步增强符号意识。在具体教学过程中，要明晰方格纸上的点与整数对的关系，以及与实际情境的关系，提升学生的数学表达能力，为将来学习平面直角坐标系积累经验。

例37 制订分类标准

选择不同的标准，把全班同学分为两类，记录并呈现调查的结果，讲述调查的过程。

【说明】分类是对数据进行的初步整理，也可以是设计数据获取方案的基础。在活动中，可以让学生感知数据蕴含着信息，为以后统计与概率的学习积累感性经验。教学中，应鼓励学生合理地提出分类标准，依据标准对调查数据进行分类。具体可作如下设计。

（1）鼓励学生自己制订分类标准，感悟分类标准与数据信息之间的关联。例如，按照性别分类可以知道男、女同学的多少，按照出生年月分类可以知道同学的年龄状况，等等。

（2）可以以小组为单位制订分类标准，设计调查方案，进行调查研究，收集数据，完成分类。

（3）尝试运用各种方式（如文字、图画、表格等）呈现小组的调查结果，讲述调查的过程和结论。

（4）在这样的教学过程中，要引导学生进行小组内的交流和全班内的积极配合，培养协同意识和交往能力。

例38 逐层分类

如图16，桌上散落着一些扣子，请把这些扣子分类。想一想：应当如何确定分类标准？根据分类标准，可以把这些扣子分成几类？然后具体操作，并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。

【说明】本活动适合第一学段的两个年级，可以在要求上有所区分。活动的目的是希望学生能够清楚“分类要依据分类标准”。例如，扣子的形状、颜色或者扣眼的数量都可以作为分类的标准，而在不同的分类标准下分类的结果可能是不同的。本活动有利于培养学生把握事物特征、抽象事物共性的能力。

此外，活动还要求学生运用文字、图画或表格等方式记录分类的结果，这有利于培养学生整理数据的能力。具体可作如下设计。

（1）教师提出问题，引导学生讨论分类标准。启发学生遵循有序的思维过程：先选择一个指标（如颜色）作为分类标准，再基于第一次分类的结果思考还可以怎样继续分类，体会还能以“形状”或“扣眼数”为标准进行第二次分类，初步了解分类是有层次的，体会层层递进的思考。

（2）根据已经讨论确定的分类标准对学生分组，引导学生实际操作，合作完成计数，各小组呈现统计结果。

（3）组织学生报告统计结果，引导学生作出评价，帮助学生整理思路。

例39 调查研究

某班的新年联欢会准备购买水果，要调查班级同学喜欢吃的水果，设计购买方案。

【说明】经历调查班级同学喜欢吃的水果的过程，感悟数据调查的方法，知道数据分析对于决策的作用。具体可作如下设计。

（1）全班同学讨论决定购买方案的原则，可以在限定的金额内考虑学生最喜欢吃的一种或几种水果，或者其他原则，让学生感知制订原则对于调查研究的重要性。

（2）引导学生讨论收集数据的方法。例如：可以采用一名同学提议、其他同学赞同举手的方法；可以采取填写调查表的方法；等等。

（3）按照讨论后的方法收集数据、整理数据，然后按照决定的原则制订购买水果的方案。

在这样的过程中，可以根据学生讨论的实际情况灵活生成教学过程，要让学生感知：收集数据的方法没有对错之分，但要一以贯之；购买方案没有对错之分，但要符合最初制订的原则。培养学生想事情和做事情的严谨性，发展理性精神。

例40 哪个小组跳绳水平高

体育课进行小组跳绳比赛，在规定时间内两个小组每名同学跳绳次数情况记录如表6。你认为哪个小组跳绳的整体水平高一些？

【说明】让学生在比较两个小组跳绳比赛结果的过程中，体会每个小组的平均数能够表达这个小组数据的集中趋势，理解平均数的代表性，逐步提升数据意识。具体可作如下设计。

（1）让学生认识到两个小组人数不同，不能用总数作为比较两个小组跳绳整体水平的依据，感悟引入平均数的必要性；在引导学生利用平均数进行比较的过程中，感悟平均数可以用来代表小组的整体水平；在用平均数对两个小组跳绳水平进行分析的过程中，逐步理解平均数作为一个统计量，能够刻画一组数据的集中趋势，介于“最大数”与“最小数”之间。

（2）引导学生讨论第一组中两个“92”的实际意义，通过这两个数值所表示意义的不同，进一步理解平均数的代表性。

（3）继续引导学生讨论，如果第二组再增加一名学生参加比赛，这组的平均成绩可能会发生怎样的变化？感悟每一个数据都会对平均数产生影响。

例41 同学身高数据的整理与分析

整理全班同学的身高数据，根据希望了解的问题，对数据进行分析，得到结论。

【说明】学校每年都要测量学生的身高，这为学习统计提供了很好的数据资源，希望学生把每年测量身高的数据都保留下来，可以根据不同年级学生的学习要求，分析不同的问题。在第二学段，学生可以直接发现数据提供的信息，如最高（最大值）、最矮（最小值）、最高与最矮相差多少（极差），大部分同学的身高是多少（众数）等；在第三学段，学生可以通过数据的整理得到信息，如分别计算男生、女生身高的平均数，进行身高比较，或者用条形统计图表达几个身高段中的人数等；到六年级，学生展示自己身高的变化。在这样的过程中，让学生感悟保留数据的必要性，在现实生活中养成科学态度。

例42 上学时间

学生记录自己一周内每天上学途中所需时间，经历通过试验获取数据的过程，感悟平均数所提供的信息。

【说明】本活动可以通过主题活动的方式进行，适用于第二、第三学段。要求学生记录每天上学途中所需的时间，经历记录试验数据的过程；计算累计数据的平均数，运用平均数表达从试验开始每天上学途中所需时间，感悟平均数的意义，建立初步的数据意识。

如果以分为单位记录上学时间，那么学生每天上学途中所需时间将会不同，感悟数据的随机性；如果记录的天数越来越多，那么累计数据的平均数会越来越稳定，让学生感悟平均数的特征。具体可作如下设计。

（1）指导学生进行试验。启发学生设计试验方案，例如：事先调整家里钟表的时间，使其与到学校时观察的钟表时间保持一致；在试验期间，保证每天上学途中的行为尽量一致；作为参照，也可记录放学回家的时间；等等。在这样的过程中，培养学生做事的严谨性，在日常生活中形成科学态度。

（2）指导学生析取信息。启发学生感知，虽然每天上学时间可能不同，但通过一周的记录可以知道大概需要多少时间，可以知道上学途中所需要的最长时间和最短时间等。在这样的过程中，让学生感悟数据蕴含着信息，信息的获得往往需要对数据进行加工。

（3）组织学生进行交流。引导学生比较自己与他人的数据加工结果，获得整体信息：同学上学途中所需的平均时间，大多数同学上学途中所需时间，上学途中所需的最长时间和最短时间；还可以将上学时间分段，统计每个时间段的人数，利用条形统计图进行表达。在这样的过程中，引发学生体会调查研究的乐趣。

例43 “三百星”的故事

通过阅读资料，知道中国空间技术研究院从1970年到2020年的50年里已经向太空成功发射了300个航天器，俗称为“三百星”。根据发射一个“百星”所用年数，体会用平均数进行表达的统计意义，同时感悟中国航天科技加速发展的趋势。

【阅读资料】摘编自《人民日报》2021年1月18日《科技视点》栏目，文字有修改。

1970年4月24日，中国发射了独立自主研制的第一颗航天器东方红一号卫星，迈出了走向太空的第一步。2020年11月24日到12月17日，嫦娥五号完成了23天的月球采样返回之旅，创造了中国航天史上又一个里程碑式的成就。从东方红一号到嫦娥五号，中国空间技术研究院研制并成功发射了300个航天器，俗称为“三百星”，包括第一颗人造卫星、第一艘飞船、第一颗导航卫星、第一颗月球探测器、第一个空间实验室、第一艘货运飞船……其中，发射第一个“百星”用了41年时间，完成第二个“百星”用了6年时间，而达成第三个“百星”只用了3年时间。

【说明】在引导学生阅读资料的过程中，启发学生发现并提出问题。50年发射300星，可以求出平均每年发射6颗星，即300+50=6。还可以思考、研究、计算每一个“百星”的时间段和年平均发射星的数量。得到：

第一个“百星”:100÷41≈2.4（颗），

第二个“百星”:100÷6≈16.7（颗），

第三个“百星”:100÷3≈33.3（颗）。

通过对比分析每一个“百星”在三个不同年段的平均数，特别是与“平均每年发射6颗星”比较，可以让学生更加直观地感悟到数据变化的趋势与程度，体会平均数的统计意义，感受我国航天事业的加速发展。

例44 用统计图表达空气质量变化

2018年7月，国务院颁布了《打赢蓝天保卫战三年行动计划》。北京市积极响应，聚焦移动源、扬尘源、生产生活源等重点污染源，深化秋冬季大气污染防治攻坚，人们普遍感觉到雾霾天数明显减少。请用统计图表达空气质最是否得到改善。

【说明】本活动可以通过主题活动的方式进行，让学生经历设计方案、收集数据、整理和表达数据的全过程，感受数据蕴含着信息以及如何提取信息，发展数据意识。这样的活动适合第三学段学生，具体可作如下设计。

（1）自主设计方案。分组实施，启发学生广开思路，设计收集数据的方案。显然方案有多种：把2018年某月的空气质量情况，先按照污染程度分类，计算各类别的天数，然后分别计算2019年和2020年这个月份的相应数据，进行比较，判断空气质量是否得到改善；也可以先按污染程度分类，分别计算每年中各类别的天数，然后进行比较；还可以计算一年中空气质量优良的天数并进行比较；等等。引发学生对不同方案展开讨论，最终形成小组意见。在这样的过程中，培养学生的交流能力。

（2）实施设计方案。每个小组按照自己设计的方案，收集、整理和表达数据。学生可以查阅相关图书，也可以通过网络查询，培养获取数据的能力；对获取的数据进行整理，尝试用各种统计图表达整理后的数据，在尝试的过程中体会各种统计图的功能，知道对于这类与过程有关的数据，用复式条形统计图或折线统计图表达的合理性；借助统计图对空气质量的变化进行分析。在这样的过程中，培养学生的推理意识，让学生感陌如何用数学的语言表达现实世界。

（3）组织学生进行小组汇报，分析各自小组的设计思路、数据收集过程、构建统计图的理由、最终的结论，让学生体会数据收集、整理和分析的现实意义，提升数据意识。

例45 谁的套圈水平高

为丰富学生的课外活动，学校开展套圈游戏活动。请你比一比，谁的套圈水平高？

【说明】通过套圈活动，引导学生对数据进行分析，了解百分数可以对随机数据进行刻画与表达，认识到百分数可以帮助人们作出判断和预测，感受百分数的统计意义，培养数据意识。具体可作如下设计。

（1）如表7，先只出示1号和2号同学的套中次数。让学生经过讨论知道，只有套中次数的数据，无法比较判断。然后出示1号和2号同学的套圈总次数，再经过讨论使学生知道关键是要找到套中次数与套圈总次数的关系（命中率）才能进行比较。

（2）出示3号和4号同学的套圈总次数和套中次数，让学生自主尝试进行比较，体会统一比较标准的重要性。再通过对不同标准的比较，感受以百分数为标准进行比较既直观又方便。

（3）深入讨论：如果这四名同学再进行一次同样的套圈比赛，排名还会是这样吗？使学生感受百分数对随机数据的刻画与表达，体会百分数的统计意义，发展数据意识。

例46 确定五年级学生跳绳达标线

为了促进学校体育活动的开展，五年级学生决定开展跳绳活动，准备确定五年级学生跳绳达标线。请你设计一个确定达标线的方法。

【说明】可以用各种方法确定达标线，但要让学生知道，实事求是是一个重要原则。对于这个问题，实事求是就是根据五年级学生跳绳的实际情况确定达标线，因此，学生需要收集同学们在规定时间内跳绳次数的数据。例如，在体育课中开展跳绳活动，可以随机抽取100名学生，记录这些学生1分钟内的跳绳次数，然后基于这些数据进行整理、分析、讨论，确定比较合理的达标线。

在一般情况下，可以考虑百分数，就是把这100名学生的跳绳次数从少到多排列。例如，选择第25名学生所对应的跳绳次数作为达标线。引导学生理解，如果选择这个达标线，那么在现阶段，大多数学生（大于或等于75%）都能够达标，少数（小于25%）没有达标的学生经过努力也可能达标。在这样的过程中，让学生感悟百分数的统计意义，以及对于决策所起到的作用。教学中，还可以启发学生结合语文课的学习，尝试记录“制订标准”的研究过程，写出有自己特色的“小论文”。开展将体育活动、数学研究、语文习作相结合的综合实践活动，有助于学生学会交流，提升解决问题的能力。

例47 数学游戏分享

教师引导学生回忆、分享幼儿园数学活动与游戏的经历，了解学生在幼儿园阶段的数学学习经验，从数学学习内容、方式上帮助学生完成幼儿园阶段与小学阶段的过渡与衔接。

【说明】在学生入学第1～2周内，正式开始数学学习之前，组织学生在数学课上介绍、交流各自在幼儿园经历过的数学活动、游戏等，有助千学生消除进入新环境的陌生感，交到新朋友，也便于教师了解学生的数学学习经验并调整教学内容与方式，激发学生学习数学的兴趣，建立自信心。

此主题活动可作如下设计。

（1）介绍我的幼儿园生活

组织学生回忆各自的幼儿园及幼儿园生活中与数学学习相关的活动，指导学生画出各自的幼儿园，鼓励并引导学生向新同伴介绍各自的幼儿园及与数学相关的活动。介绍中，教师指导学生使用数学信息进行表达和交流。例如：幼儿园的建筑有几层？幼儿园的操场是什么形状的？教室大不大？教室内有多少桌子、椅子？桌子是什么形状的？班级内小朋友人数是多少？玩具区的某类玩具够不够每个小朋友拿一个？积木是什么形状的？在数学活动中幼儿园老师带领大家做了什么？通过学生的表达，了解其数学学习经验。

（2）分享有趣的数学游戏

组织学生回忆在幼儿园玩过的有趣的数学游戏，从这些游戏中挑选一个最喜欢的与他人分享。指导学生有条理地描述游戏的基本规则，说一说自己为什么喜欢这个游戏等。

（3）一起玩有趣的数学游戏

筛选学生分享的数学游戏，可以按照数学游戏中涉及的数学知识或者难易程度分类，有序地安排在第1～2周的数学课上。准备游戏需要的材料，邀请游戏的分享者担任裁判或者监督员，带领学生一起玩这些数学游戏。在游戏的过程中，观察学生的数学经验与理解、活动参与等清况；游戏结束后，组织学生交流怎样能把这个游戏玩得更好。根据学生的表现适当调整后续的教学安排，帮助学生更快地适应小学数学学习。

例48 欢乐购物街

在购物活动中对商品进行定价或者买卖，在定价、付钱和找钱等具体活动中，认识人民币的相关知识。

【说明】基于生活经验，让学生回顾看到过的和经历过的购物过程，教师设计购物活动，帮助学生在这样的活动中认识并会使用人民币，体会货币单位的换算，加深对加减运算的理解，形成初步的量感。同时，帮助学生感受货币的作用、商品与货币的关系，形成初步的金融素养。

此主题活动可作如下设计。

（1)筹备购物街

教师和学生共同筹备，例如：教师准备作为学具的“人民币”，引导学生认识人民币，知道不同面值人民币之间的换算；每名学生带2件用来买卖的商品，可以是图书、玩具、文具等；师生共同布置购物街。

此活动可以分多次进行，确保每名学生至少经历一次买和卖的过程，引导学生熟悉货币之间的换算，体会买者和卖者操作过程和思考方式的不同，进一步理解加减法的应用，感悟货币与商品的关系，体会货币交流的过程，形成初步的金融素养。

（2）货币小讲堂

组织学生对购物过程进行回顾和反思，感知货币的意义；引导学生查阅资料，了解中国货币的历史知识，知道人类最初的货币、现代国家的货币和货币单位，并进行交流，感悟货币的价值、货币与商品的关系，了解简单的金融知识。

例49 时间在哪里

引导学生述说日常生活中与时间有关的事情，认识时间以及时间单位之间的关系，感受时间是对过程的度量。

【说明】此主题活动可根据不同学期的教学内容，设计不同的活动内容。

（1）时间是什么

依据学生的生活经验，以讲故事的形式，让学生表述1分钟、1秒、1小时所刻画的过程的长短。例如，回顾运动会跑步的场景，100米比赛成绩需要用秒度量，1500米比赛成绩需要用分度量，马拉松比赛成绩需要用小时度量。

（2）时间在哪里

根据生活经验，学生通过交流能够认识钟表所示的时间；在此基础上，教师引导学生参照时针、分针、秒针的运动关系，理解时间单位之间的关系。在“拨一拨、说一说、认一认、读一读”等活动中，加深对时间表达的理解。

（3）1分钟能做什么

鼓励学生想象并实际操作，感受1分钟有多长、能做什么，如脉搏能跳多少下，读文章能读多少字，跳绳能跳多少次，积累度量时间的经验。引导学生查阅资料，如蜂鸟1分钟振动翅膀的次数、蜗牛1分钟爬行的距离、光1分钟传播的距离等，加深对时间的认识。

（4）计时工具

展示中国古代的计时工具，如漏壶、滴漏，解释其中的原理，让学生体会逝水流年的意境。鼓励学生收集机械钟表和电子钟表的图片，感受科学计时的进步。

例50 我的教室

在具体场景的描述中学习表示位置、方向的词语，并了解位置具有相对性，方向是用来描述位置的，能够在生活中使用这些词语表达方位。

【说明】此主题活动可以根据不同学期的教学内容，设定不同的活动内容。可以从下面的具体内容中选择，也可以补充或设计其他内容。

（1）我的教室

通过向他人介绍“教室里有什么”“我在教室里的位置”等，帮助学生联系生活中描述物体位置的经验，正确使用上、下、左、右、前、后等词语描述物体的位置，辨别自己的东、南、西、北方向分别是谁，在辨别和应用中体会方位的相对性。

（2）我的学校

结合学校周围的标志性建筑，用东、南、西、北等词语向他人介绍自己学校所在的位置。

指导学生开展合作，制作学校周围建筑的示意图，结合图用东、南、西、北等词语介绍学校周围建筑物之间的相对位置关系。

（3）我的房间

指导学生迁移介绍教室的经验，回到家中运用这些表示方位的词，向他人介绍自己的房间或家中的某个房间，可以将介绍的过程录制成视频。教师组织学生观看视频，对同伴的介绍进行评价。

例51 身体上的尺子

引导学生发现自己身体上的长度单位，经历用身体上的长度单位测量物体的过程，直观理解度量的意义。

【说明】学生对测量的学习不应停留在对标准测量单位的认识，还应了解非标准测量单位，能根据实际需求选择或创造合适的单位，能进行合理估测。应从长度测量的学习开始，通过主题活动帮助学生逐步在具体测量活动中加深对度量思想的体会。此主题活动可作如下设计。

（1）发现身体上的“长度”

带领学生，探索发现藏在自己身体上的“长度”，如拳头一周的长度、手腕一周的长度、手学长、脚学长、头长、一拃长、一步长、一庹长、身高等。

指导小组分工合作，先估一估身体上这些“长度”有多长，然后选择米、厘米等合适的单位，动手测量并记录数据。通过比较估计与测量得到的数据，加深对米、厘米等长度单位的感受，丰富测量的经验；通过比较自己身体上这些“长度”之间的关系，发现身体上“长度”的奥秘，如自己的一庹长大约等于身高。

（2）用身体上的尺子测量

用身体上的尺子作为测量工具，开展实际的测量活动。如用自己的步长作单位，测量教室、走廊的长度，甚至可以测量从家到学校的路程；用自己的一拃长作单位，测量教室黑板、家里沙发的长度；用自己的一庹长去测量一棵大树树干一周的长度。在测量中体会单位的选择及估测的策略方法。

（3）交流我们的发现

组织学生交流活动感受，鼓励学生表达发现与收获。

例52 数学连环画

引导学生经历创作数学故事的过程，让学生自主决定故事的内容和表现形式，积累规划做事的经验，增强学习数学的兴趣。

【说明】学生结合自己的生活，运用已经学过的数学知识，记录自己的经历；或者编一个含有数学信息的小故事，然后将这个故事画出来，做成小小连环画，与同学们分享。

此主题活动为跨学科主题学习，学生需要运用文字、图画记录故事，设计连环画，并用自己的语言讲故事。此主题活动可作如下设计。

（1）说说“我的生活”

引导学生梳理自己的生活中哪些活动、事件包含与数学相关的信息，或者需要用数学知识解决的问题，帮助学生找到这些信息。例如：周末去动物园，从不同方向上看到的小动物；和爸爸、妈妈出去买东西，每件多少元，买了几件；去奶奶家，坐23路公共汽车，奶奶家书架中物品摆设的上、下位置；和同学玩七巧板，摆出了不同的人物、武器，展开了“战斗”；自已完成的一道数学趣题；等等。

（2）画出“数学故事”

学生动手画出“数学故事”。指导学生能尽量准确、完整地呈现和表述故事中的数学信息及数量关系。对连环画由几“格”组成不作要求。

（3）组织“我们的故事会”

组织学生分享自己的故事，一起交流、讨论连环画中的数学信息和问题。

例53 纸的厚度

引导学生进一步理解长度单位与现实世界的关系，测量的过程，培养基于量感的想象力。

【说明】通过对1200张纸或更多的纸有多厚这个问题的探索，在估计和推测的过程中，进一步理解数量的实际意义、数与生活的密切关系，进一步丰富长度单位的表象。此主题活动可作如下设计。

（1）1本数学书有多厚

指导学生观察1本数学书的厚度，用手比画它的厚度。帮助学生明确这本书有多少张纸，如大约50张，然后用尺子量一量，1本数学书（即约50张纸）的厚度大约是多少。

（2）2本、5本、10本数学书有多厚

指导学生自己动手操作，将数学书依次摞起来，每增加1本都请学生感受数学书的总厚度，经历数量由少增多的过程。

当2本、5本、10本数学书摆在一起时，用手比画它们的厚度，然后想办法得到这些书有多少张纸。

用尺子量或用其他办法得到2本、5本、10本数学书的厚度，请学生自己记录这么多张纸的厚度分别是多少。

（3）1200张（或者更多）纸大约有多厚

请学生想一想，1200张纸大约是多少本书？用手比画一下，这么多本书的厚度大约是多少？

请学生合作，动手摞20多本数学书（假设1本数学书约50张纸），量一量这些书的厚度是多少。

引导学生思考并积极表达：如果是图画本中的1200张纸摞在一起，可能有多厚？如果将1200张其他类型的纸摞在一起，可能有多厚？

例54 年、月、日的秘密

通过对现实世界时间的描述，进一步认识年、月、日这些“长”时间单位，感悟时间是对过程的度量。

【说明】学生依托生活经验，了解24时记时法，会用24时记时法表示时刻；梳理总结对年、月、日的认识，探索它们之间的关系；感受生活中时间单位的应用，提高应用意识。此主题活动可作如下设计。

（1）我的一天时间规划

结合多个生活情境，指导学生理解12时记时法和24时记时法的联系；指导学生用24时记时法或自己喜欢的其他方式记录一天的生活，并作出周末某一天的时间规划；组织学生展示自己的一天时间规划，互相交流评价。

（2）日历中的发现

创设活动，指导学生探索日历、月历中的信息，使学生结合生活经验，认识年、月、日以及它们之间的关系。

（3）年、月、日知多少

活动前查找关于年、月、日的由来，以及历史故事、历法发展等资料，召开“年、月、日知多少”故事会。协助学生分类和归纳年、月、日等知识，加深对年、月、日的长度及关系的理解，初步感知计时单位与星象运动的关系，扩展对其他计时单位及历法的了解，感受生活中各种时间单位的应用。

（4）制作月历牌

指导学生选择有纪念意义的一年，如自己出生的年份、爸爸和妈妈结婚的年份、奥运会召开的年份等，设计、制作这一年的月历牌，并相互欣赏评价。

例55 土圭之法的故事

通过对中国古代运用土圭之法判别四季的了解，进一步感悟时间的意义和度量时间的必要性。

【说明】中国在步入农业文明后，需要知道什么时候是春天，什么时候开始耕种。通过对历史资料的查找、讲述及探究活动，引导学生进一步感悟时间、历法与太阳运动周期的联系，感悟中国悠久的历史和农耕文明。

此主题活动可作如下设计。

（1）了解土圭之法

可以讲述下面的故事，或者指导学生查找资料，了解土圭之法。《尚书·尧典》中说：“期三百有六旬有六日，以闰月定四时成岁。”这就说明，至少在商周时代，人们就知道阳历中一年为366日，并用阳历的周期调整春分、夏至、秋分、冬至匹个节气。

那么，人们是如何知道的呢？所用方法被称为土圭之法，也就是立杆测影。如《周礼·夏官司马》说，“土方氏掌土圭之法，以致日景”，在周朝已经有了专门掌管土圭的官员，被称为土方氏。

土圭之法是在平台中央竖立一根八尺长的杆子，观察这根杆子的日影长度。在一天中，正午时杆子的影子最短，记为这一天的日影。古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至时日影最长，这样就通过日影的长度得到了夏至和冬至；然后，计算夏至和冬至日影长度的平均数，用这个平均长度确定春分和秋分时日影长度。于是，利用土圭之法便确定了一年四季。

还可以补充如下知识：那根八尺长的杆子也称为表或髀，中国古代有一本著名的数学书《周髀算经》，讲的就是关于周朝的髀的计算问题，主要讲述的是如何利用土圭之法（日影长度的差异）度量南北之间的距离。

（2）了解二十四节气

指导学生查找资料，了解二十四节气及与之有关的故事、传说等，体会中国古代劳动人民依据太阳运动周期划分四季与节气并指导农事生产的智慧，感受度量时间的意义。

（3）尝试“立杆测影”并观察变化

有条件的学校，可以参考土圭的图片资料，教师和学生合作尝试制作土圭，或在学校内合适的位置“立杆测影”，记录一段时间内影长的变化，交流记录后的发现及感受。

例56 寻找“宝藏”

通过具体情境，引导学生在认识四面的基础上认识八方，并能够在平面上进行表达，发展空间观念。

【说明】通过寻找“宝藏”、制作藏宝图等具体活动，联系已学过的表示方向、位置的词语，继续学习东北、西北、东南、西南四个方向，了解并尝试使用“几点钟方向”，在实践活动中进一步发展空间观念。此主题活动可作如下设计。

（1）寻找“宝藏”

模拟寻宝的场景，在依据指令或者提示信息寻找“宝藏”的过程中，指导学生在已认识的方向基础上，认识东北、西北、东南、西南四个方向，能在实际场景中描述一个物体所在的方向，以及物体之间的方向关系。

（2）制作藏宝图

小组合作，制作一张藏宝图，并在藏宝图上留有一些关于“宝藏”方向的提示信息。小组间开展挖掘“宝藏”的活动，互相阅读，发现其他小组藏宝图上的方位信息，在推理判断中应用方位，发展空间观念。

在团队寻宝活动中，指导学生之间尝试使用“‘宝藏’在我4点钟方向”“某同学在我9点钟方向”等描述传递信息。

例57 度量衡的故事

引导学生查阅资料，了解常用计量单位的历史和发展，知道计量对于日常生活与生产实践的重要性，感悟计量单位由多元到统一、由粗略到精细的过程，培养科学精神。

【说明】在第一、第二学段，学生分别认识了与长度、面积、质量、时间、货币等相关的量的意义。通过对日常词语中计量单位的溯源和解析，让学生了解度量衡的历史与发展，进一步加深对计量单位意义的理解，丰富并发展数感。

此主题活动为跨学科主题学习，学生以成语为对象，结合量的知识，运用文字、图画等方式表达对量及计量单位的理解和感悟。

此主题活动可作如下设计。

（1）了解度量衡

引导学生查阅有关度量衡的资料，组织学生在课堂上进行交流，了解度量衡的历史与发展。例如，秦始皇统一度量衡的故事，古代计量单位和现代计量单位的差别等。

（2）查找成语中的计量单位

指导学生查阅工具书（如成语词典），从中找到带有计盘单位的成语，如“不积硅步，无以至千里”“尺有所短，寸有所长”“胆大如斗”“火冒三丈”“百步穿杨”“半斤八两”等，了解成语中这些计量单位在古代的具体意义，并换算成现代计量单位。

指导学生用文字、算式、图画等，呈现这些成语故事及其中计量单位的意义。

（3）组织主题墙报展

组织学生将自己的作品进行集中展览，互相交流学习，丰富对计量单位实际意义的理解，发展量感。

例58 制订旅游计划

在真实情境中，引导学生经历从数学的角度概括事物的关键要素、有条理地制订计划的过程，积累数学实践活动的经验，发展应用意识。

【说明】制订旅游计划包含多个方面的具体内容，如城市间的交通，旅游城市内的交通、住宿、餐饮、景点等，涉及查找火车、航班信息，查找旅游城市的市内交通信息，规划、描述基本的市内交通线路，规划旅游景区内的参观路线、时间，并做出费用的预算等。学生制订计划是一个调动生活经验、充分调查、统筹规划的过程，学生将积累数学活动经验，提高问题解决能力。

因学生的实际情况不同，可以根据本校学生的具体情况，提出具体要求，如限定旅游目的地，规定好交通方式，建议参观的景点等。但应留有学生自己调查研究的空间，保障探究、规划的时间。

此主题活动可作如下设计。

（1）讨论如何制订旅游计划

组织学生结合生活经验展开讨论：制订一个旅游计划涉及哪些问题？如几人去、去哪里、怎么去、需要准备多少钱等，明确旅游计划应包含的基本内容。

和学生一起讨论，初步确定上述信息，如做自己家庭的旅游计划，去首都北京旅游，坐高铁往返等；建议学有余力的学生做计划时考虑两个方案，如乘高铁、飞机两种出行方式，以方便比较和筛选。

（2）收集信息并制订计划

学生可以独立完成，也可以组建小组分工合作，还可以和家长合作，开展调查研究，收集相关信息，制订旅游的具体计划，并估算出所需要的费用。

可根据学生的生活经验情况，提出制订计划的具体要求，如制订“北京市内一日游”计划。可以给出北京地铁路线图，明确制订从北京西站到中国科学技术馆的参观计划，缩小调查筛选信息的范圉，便于学生把握信息作出合理规划。

（3）交流评价

组织学生交流所制订的旅游计划，对这些旅游计划进行评价。

例59 如何表达具有相反意义的量

引导学生通过归纳、比较，在生活情境中了解负数，体验负数在具体情境中的实际意义。

【说明】基于学生比较熟悉的温度、海拔等背景，通过对具体实例的描述，让学生感受负数的实际意义，并通过与正数的对比，感悟负数可以表达与正数相反意义的量，进一步发展数感。

此主题活动可作如下设计。

设计前置任务，由学生分组查找资料，如日常生活中的情境、古代使用负数的史实等。活动中，学生交流查找到的负数信息，解释负数在此事例中的具体意义。在交流汇报中，了解负数，感悟负数与正数的关系，初步感受数系的扩展，进一步发展数感。

例60 校园平面图

通过实地测量，引导学生经历相对复杂的测量过程，知道事先规划、分步实施的重要性，体会测量误差的取舍及其现实意义，积累数学实践活动经验，发展量感。

【说明】将校园的形状、校园内的建筑用合适的比例尺画在纸上，需要经历实地测量、构建比例尺、依据比例尺进行绘制等多个阶段。学生在这个实际操作过程中，需要面对校园的占地形状不规则、建筑物墙体太长不好测量、怎样将立体的校园画在平面上等诸多问题，需要分工合作、综合运用数学各领域知识加以解决。

此主题活动可作如下设计。

（1）明确绘制任务，讨论可能遇到的问题

明确提出绘制校园平面图的任务，共同讨论如何测量和绘制，需要准备哪些工具，可能遇到哪些具体问题，如何解决或怎样寻求帮助等。

在讨论中明确将实际景物缩小到图上的时候，需要按比例才能保证景物不变形，通过实际问题的解决加深对比例尺的理解。

讨论后学生组建小组，制订具体测量方案，合理分工。

（2）开展实地测量活动，绘制校园平面图

学生利用课内外相结合，按照测量方案中的步骤和分工，进行校园及校园内建筑物、景观的实测，记录数据。教师要跟踪指导，及时协助学生解决遇到的具体问题。

所有实地测量结束后，学生在小组内讨论如何将测量的数据转化成绘制平面图的数据，并进行平面图的绘制。此过程应允许学生反复进行实地测溢，补充或修正所需要的数据。

（3）组织展览，交流反思

将学生绘制的校园平面图进行展览，组织学生交流测量、绘制的过程，总结经验，反思不足，并对所绘制的平面图进行相互评价。

例61 体育中的数学

引导学生经历有目的地查阅资料，梳理资料中的有用信息，分析信息形成结论的过程，提升学生从数学的角度分析问题的能力，培养学生学习数学的兴趣。

【说明】体育运动中包含着各种各样的信息，如奥运会等重大赛事的成绩、足球赛中的抽签分组、篮球赛中运动员的技术统计、运动中的营养健康。学生可挑选自己感兴趣的内容，通过查找、梳理信息，提出并解决数学问题，进一步感受数学在生活、社会、科技中的广泛应用。

此主题活动可作如下设计。

（1）体育信息窗

教师和学生共同就与体育相关的话题展开讨论，引发学生对体育中的数学信息的兴趣。学生个人或小组确定感兴趣的话题，制订探究计划，查找、梳理、筛选信息，从中发现数学的应用，提出数学问题。

（2）体育报告会

学生个人或小组解决所提出的数学问题，详细记录问题解决的过程、结果，问题解决过程中遇到的困难和解决的方法等。组织汇报交流会，相互评价并改进。

指导学生总结反思个人或小组学习的过程，制作活动报告书，组织校内张贴、浏览及评比，可根据实际情况评选最佳信息奖、最佳问题解决奖、最佳设计奖、最佳展示奖等奖项。

例62 营养午餐

引导学生结合生活经验提出问题，通过经历调查研究、解决实际问题的过程，感悟设计调查方案的重要性，知道如何利用百分数等数学知识和科学、营养学等知识解决问题，积累用统计方法解决现实生活中不确定问题的经验。

【说明】在人体每天摄取的总能量中，午餐约占40%。膳食中营养的均衡摄入与学生身体健康密切相关。引导学生通过对午餐中各种营养物质的计算和分析，以及对营养午餐食谱的设计，发展问题解决能力，了解均衡营养、合理膳食的理念。

此项目学习可作如下设计。

（1）结合经验提出项目学习要解决的问题

引导学生回顾自己了解的营养膳食的信息，如少盐少油、莹素搭配等，提出感兴趣的问题，如“各种食物所包含的营养物质主要有哪些？”“我们最近的午餐营养搭配是否合理？”等。后面的学习围绕主要的问题展开。

（2）查阅资料，了解营养膳食的知识

指导学生查阅资料，进一步了解人体每日的营养需求，如“10岁儿童每日午餐中应获取的合理热量”；了解如大米、面粉、青菜、马铃薯、牛肉、鸡肉等常见食材中的营养物质含量。指导学生借助图表等方式比较数据，感受均衡营养、合理膳食的重要性。学生可以分工进行调查，共享信息和数据。

（3）计算一周午餐食谱的营养情况

指导学生记录最近一周学校餐厅或者自己家庭的午餐食谱，分工合作，对照前面的数据表，计算这一周午餐的营养构成情况，分析并交流。针对具体结果，向学校餐厅或者家长提出建议。

（4）设计一周营养午餐食谱

根据前面的学习，设计一周营养午餐食谱，并通过海报等形式进行展示和交流，也可以组织对一周营养午餐食谱进行评选。

例63 水是生命之源

通过对中国淡水资源分布、可用水量以及人均淡水占有益、现实生活中人均用水量等信息的调查，引导学生经历从数学的角度研究社会问题的过程，培养对数学的应用意识，提升数学学习兴趣。

【说明】我国是人口大国，淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识，但生活中浪费水的现象也很常见。通过开展资料查找、实地走访、方案设计等实践活动，加强对水资源使用与保护等问题的关注，提高处理信息、发现并提出问题、设计方案解决问题的能力。

此项目学习可作如下设计。

（1）了解淡水资源分布、储备情况

指导学生查找资料，了解我国淡水资源的分布情况、水对人类生存和生活的重要作用等信息。了解我国解决淡水资源分布不均问题的举措，如南水北调工程等。

通过实地参观污水处理厂或者邀请专业人士协助，了解本地区淡水资源储备、循环使用等方面的做法。

记录并整理所获取的信息，提出问题并设计问题解决的思路及方案。

（2）整理信息，提出项目学习要解决的问题

指导学生整理通过参观、调查等了解的信息，根据这些信息提出项目学习要解决的问题。整理、归纳这些问题，可以聚焦到一个主要问题，全班共同解决；也可以归纳为几个相关问题，全班分组解决。

确定要解决的问题后，合作设计问题解决的思路及方案。

（3）调查与研究，按照方案解决问题

如研究问题聚焦在“生活中人们的用水习惯及用水量调查”，需要指导学生合作设计调查方案，了解周围人们生活中的用水习惯。根据调查获得的信息，设计相应的实验，如获得一定时间内水龙头全开或者半开的出水量、一个滴水的水龙头一天浪费的水量等数据。综合调查或者实验的结果，得出不同用水习惯的人或者家庭一段时间内的用水量，提出比较有针对性的节水建议。

对其他问题的解决，也应设计类似的调查、探究方案，指导学生依据方案展开学习。

结合项目学习过程获得的信息，总结研究过程，交流研究报告与感悟。

（4）制订节水方案

结合前面的调查与探究，尝试设计节水工具或设施，如可记录、调控水流量的水龙头等；制订节水方案，如家庭循环用水方案或学校节水行动方案等，并切实开展行动。一段时间后总结交流节水成效。

例64 负数的引入

借助历史资料说明人们最初引入负数的目的，感悟负数的本质特征，了解中华优秀传统文化。

【说明】负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中。该书经过历代各家增补修订，最迟成书于东汉早期（约公元1世纪），魏晋时期伟大的数学家刘徽（生卒年不详）和唐代杰出的天文学家、数学家李淳风（602—672）等人的校注，使得这部书得以完整呈现，北宋时期刊刻为教科书。书中还提出了正负数加减运算的法则。

例如，《九章算术》中第八章（《方程》篇）的第八题关于三元一次方程组的建立和求解，述说了这样的问题背景：一个人有一次到家畜市场，卖了马和牛，买了猪，有所盈利，可以列一个三元一次方程，在列方程的过程中，把卖马和牛得到的钱算作正，把买猪付出的钱算作负。负数就是这样出现的。

由此可以看到，负数和正数一样，都是对数量的抽象，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”，千是人们发明了绝对值表述“相等”的数量。如果收入定义为正，那么支出则为负；如果向东行走定义为正，那么向西行走则为负；如果向上升高定义为正，那么向下降落则为负。虽然意义相反，但数量本身是一样的，可以用绝对值予以表示。在学习的过程中，可以让学生体会我国古代数学家在数学上的贡献，增强学好数学的自信心。

例65 简单近似计算

例66 代数推理

例67 一元二次方程的根与系数的关系

例68 通过图象分析函数关系

例69 得到函数表达式

例70 温度的计量

例71 二次函数的最大值或最小值

例72 反比例函数的引入

例73 尺规作图：垂直平分线

例74 感悟反证法

例75 通过直观理解概念

例76 尺规作图：过圆外一点作圆的切线

例77 感悟证明的必要性

例78 推理过程的逻辑

例79 感悟反例的作用

例80 图形中心旋转的变与不变

例81 利用图形的相似解决问题

例82 勾股定理的直观证明

例83 设计调查方案

例84 分布式计算平均数或百分数

例85 数据分组的原则

例86 箱线图与百分位数

例87 趋势统计图

例88 分析可能性的大小

例89 体育运动与心率

例90 绘制公园平面地图

例91 国内生产总值 (GDP) 调研

例92 样题：探究叠放杯子的总高度变化规律

图38是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，请自行定义常量与变量来建立一个函数，探究叠在一起的杯子的总高度随着杯子数量的变化规律。

【样题分析】该题要求学生能够根据图示，自定义合适的常量和变量，并利用函数描述杯子的总高度随杯子数量的变化规律。考查学生对函数概念的理解。正确作答该试题要求学生能够从数学的角度观察示意图，将问题情境抽象为数学情境，并能够运用函数的知识表示杯子总高度随杯子数量的变化规律。考查的核心素养为“会用数学的眼光观察现实世界”和“会用数学的思维思考现实世界”，核心素养的主要表现为抽象能力和运算能力。

在教学中应注意培养学生“会用数学的眼光观察现实世界”的能力，使学生意识到数学是一个能够解决现实问题的重要工具，培养学生对数学学科的兴趣，促进学生在日常生活中发挥数学的重要作用。

【参考答案】设杯子底部到杯沿底边高H，杯沿高a（常量），杯子数量n（自变量），则总高度h=H+na。

例93 样题：公司招聘职员

某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如表17。

（1）如果将学历、经验、能力和态度四项得分按 1：1：1：1 的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，那么，谁将被录用？

（2）如果这家公司较看重员工的学历（其他三项比例相同），你帮公司设计一个四项得分的比例，并以此为依据确定录用者，那么，谁将被录用？

（3）如果你是这家公司的招聘者，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的比例，以此为依据确定录用者，并说一说你这样设计比例的理由。

【样题分析］这是一道社会情境的数学题，要求学生根据表格中的数据解决实际问题，考查了统计与概率领域的内容。正确作答该试题要求学生能够正确理解表格内容，分析题目要求，通过对数据的分析得到合理的结论，并能够用数学的语言表达自己的观点。考查的核心素养为“会用数学的语言表达现实世界”和“会用数学的思维思考现实世界”，核心素养的主要表现为数据观念和推理能力。

该样题的问题清境引导学生树立正确的价值观，在未来生活、工作中不能唯学历论，也要注重个人能力、工作态度等，引导学生正确规划自己的人生。教学过程中，教师在教授知识与技能的同时，应注重对学生情感、态度、价值观的培养。

【参考答案】

（1）直接相加，甲、乙各得29分，丙得30分，录用丙。

（2）将学历、经验、能力和态度四项得分按 3：1：1：1 的比例加权平均，录用甲（ 2：1：1：1 或 4：1：1：1 等能体现学历重要的比例设计均可）。

（3）学生对自己设计的比例阐述理由，只要合理即可。如看重工作态度，有无经验均可，将学历、经验、能力和态度四项得分按 2：1：2：3 的比例加权平均，录用乙。

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